- ریاضیات عمومی
* ریاضیات عمومی - آغاسی یا مسعود نیکوکار یا کتاب ریاضی عمومی پارسه

۲- معادلات دیفرانسیل:
* معادلات دیفرانسیل -نوشته آغاسی
* معادلات دیفرانسیل - نوشته دکتر مسعود نیکوکار

۳- آمار و احتمالات:
* آمار ریاضی - نوشته جان فروند (+والپول) - ترجمه علی عمیدی و محمد قاسم وحیدی اصل
* مبانی احتمال - نوشته شلدون راس - ترجمه احمد پارسیان و علی همدانی
 *آزمونهای ریاضی کارشناسی ارشد - دکتر مسعود نیکوکار)
کتاب خلاصه مباحث اساسی کارشناسی ارشد آمار و احتمال - نوشته محسن راد - انتشارات پردازش نیز سرفصل های ارشد را بخوبی پوشش داده است.

۴- توابع مختلط:
* متغیرهای مختلط و کاربردها- توابع مختلط پردازش

۵- جبر ۱:
* نخستین درس در جبر مجرد جلد ۱ و ۲ - نوشته جان ب. فرالی - ترجمه مسعود فرزان
* مباحثی در جبر - نوشته ی. ن. هرشتاین - ترجمه علی اکبر عالم زاده

-جبر پردازشوجبر پوران پژوهش
برای فهم بهتر جبر۱ کتاب زیر پیشنهاد می شود که شامل مثالهای فراوانی می باشد:
* مقدمه ای بر جبر مجرد - نوشته محمد رجبی طرخورانی
در ضمن کتابهای زیر نیز سر فصلهای جبر ۱ و ۲ را بخوبی پوشش داده اند:
* جبر ۱ - نوشته مسعود نیکوکار و محمود غافری
* جبر ۲ - نوشته مسعود نیکوکار و محمود غافری

۶- آنالیز ریاضی ۱:
* اصول آنالیز ریاضی - نوشته والتر رودین - ترجمه علی اکبر عالم زاده
* آنالیز ریاضی - تام م. آپوستل - ترجمه علی اکبر عالم زاده (فقط فصل ۶ که در مرجع قبلی نیست - فصل تابعهای با تغییر کراندار و خمهای با درازای متناهی)

* .آنالیز ریاضی (کتاب ارشد)انتشارات پوران پژوهش نویسنده:دکتر رضوانی و آنالیز پردازش

۷- آنالیز ریاضی ۲:
* اصول آنالیز ریاضی - نوشته والتر رودین - ترجمه علی اکبر عالم زاده
* اصول آنالیز حقیقی - نوشته ربرت جی. بارتل - ترجمه جعفر زعفرانی

۸- آنالیز عددی ۱:
* آنالیز عددی - نوشته اسماعیل بابلیان (انتشارات دانشگاه پیام نور)

* آمادگی برای آزمون های کارشناسی ارشد - آنالیز عددی - نوشته سعید زارع زاده و بهروز عبدلی - انتشارات نگاه دانش

عددی پوران پژوهش

۹- جبر خطی:
* جبر خطی - نوشته کنت هافمن و ری کنزی - ترجمه جمشید فرشیدی
* جبر خطی - نوشته مایکل اونان - ترجمه حسن آبادی

جبر خطی پردازش

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ضرایب هر درس در گرایشهای مختلف ریاضی :
                    ریاضی عمومی   معادلات   آمار   توابع   جبر۱   آنالیز۱   آنالیز۲   عددی۱   جبرخطی
ریاضی محض            ۴                ۲         ۲       ۲       ۳         ۳         ۳          ۲            ۳
ریاضی کاربردی         ۴                 ۲        ۲       ۲        ۱        ۳          ۳         ۳             ۳
آموزش ریاضی          ۴                 ۲        ۲       ۲        ۲        ۳          ۳         ۲             ۳

 

به همین راحتی. این رو الان شما نمیتونید درست کنید؟
حتما میتونید.
همیین مقام کشوری آورد.
هدف از اختراع چییه؟ مخترع اختراع میکنه که=
1-بتونه کارای مردوم رو راحت کنه(مثل همین مسواک )
2-کم هزینه باشه تا همه بتونند استفاده کنند(بازم مثل همیین مسواک)
3-کاربردی باشه(این مسواک هم کاربردیه)
حالا چگونه اختراع کنیم؟
برایه اختراع 3 راه رو باید در پیش بگیریم.
اولین راه ایده یابی هست.
دومین راه بررسی کنید که این ایده از قبل اختراع شد یا نه؟
سومین راه درست کردن ایده (همون اختراع)
به همین راحتی
چگونه ایده یابی کنیم=
در زندگی ما اتفاق هایی میوفته که خیلی راحت از کنارش میگزریم ولی اگه به همیین اتفاق

ها کمی دقت و کمی فکر کنیم میبینیم که قابل حل هستن.
مثل=
حتما شده که شما دارید با مداد می نویسید بعد توی نوشتن یه جایی رو اشتباه میکنید,حالا 1

ساعت دنبال پاکن میگردید.
چقدر عصابتون داقون میشه؟
خوب یه کسی همین اتفاق واسش افتاده بود ,کمی فکر کرد که چطور میشه این مشکل رو حل

کرد.
اومد پاکن رو بالای مداد وصل کرد.
این شد اختراع.
یه وسیله ای که هم میشه نوشت و هم میشه نوشته رو پاک کرد.
به همین راحتی
حالا میبینید که همه ی مغازه ها از این مدادها دارن,یعنی به تولید انبوه رسیده و کسی که این

فکر رو کرد(اختراع کرد)یه پول هنگفتی گرفته که تا آخر عمرش هم نمیدونه باهاش چی کار

کنه؟
فقط باید هر موقع واستون مشکلی پیش اومد کمی بهش فکر کنیید.
راه دیگه ی ایده یابی=
این راه هم خیلی آسونه فقط نیاز به کمی فکر داره.
فقط شما باید چند چیز رو با هم قاطی کنید.
مثال=
حتما یخچال هایی دیدید که روی درشون تلویزیون هست.
آدمی که این اختراع رو کرده فقط تلویزیون رو تن در یخچال وصل کرده .
یخچال رو یه بنده خدای دیگه اختراع کرده تلویزیون رو یه بنده خدای دیگه.
فقط این آدم این 2تا رو بهم چسبونده.
این شد اختراع
به تولید انبوه هم رسید
به همیین راحتی.
دومین راه مخترع شدن بررسی این بود که ایده تان اختراع شد یا نه؟
اینجا شما از طریق اینترنت میتونیید بفهمید .
نکته مهم:اصلا به دیگرانن اعتماد نکنیید حتی پدر یا مادر تون باشه.این موضوع خیلی پیش

اومد که یه نفر ایده پیدا میکنه بعد میره واسه بررسی به چند نفر ایده ش رو میگه بعد اونا

خیلی راحت میگن این که درست شد.اینجا نبایید شکست بخوریید و بایید بیشتر بررسی کنیید

وتا موقعی که عکس یا خود اختراع رو ندیدید ول کن غضیه نباشید.
سومین راه مخترع شدن هم درست کردن ایده هست.
بعد میتونیید بریید و اختراع تونو به ثبت برسونید.
دیدین چه قدر ساده هست مخترع شدن.
خوب حالا شما ایده ای پیدا کردین بد بررسی هم کردید دیدید ایده تون از قبل اختراع نشد

حالا مخواهید اون رو درست کنید ولی به هر دلیلی (مثلا تخصص شما نباشه و بلد نباشید

درست کنیید و یا مشکل مالی داشته باشید) نتونیید درستش کنیید , خوب اینجا بایید چی کار

کنیید؟
آدم هایی هستن تو آموزش و پرورش که به داد هم چین آدمایی برسند.
اگه شهرتون پژوهش سرا داره میتونیید برید اونجا و خودتون رو معرفی کنیید ولی اگه نداره

برام یه میل بزنیید,اسم شهرتون و نیاز به چه متخصصی(الکترونیک. برق. کامپیوتر.

مکانیک... و هر رشته یه دیگه) دارید روبهم بگیید تا من براتون اون ادم رو پیدا کنم.
نکته:
این آدم ها فقط به عنوان مشاوره طرح تون هستن و در هنگام ثبت اختراع ,اختراع تون فقط

به نام شما ثبت خواهد شد و از شما هیچ پولی بابت مشاوره نمیگیرند.
نکته:یک اختراع میتونه تا 10 مشاور داشته باشه.
اما در زمینه ی پول:
خوب شما وقتی اختراع کردید یه پوله تشویقی از آموزش و پرورش یا شهداری میگیرید که بازم خدا رو شکر.
ولی اگه طرحتون خیلی گرون وای میسه میتونیید واسه خودتون یه پورسان بگییرید.
مثلا میتونیید خودتون یا مشاور طرحتون بره یه شرکت بزرگ(مثل ایران خودرو یا ...) و

خودتون و طرح تون (ایده تون) رو معرفی کنیید.
اگه شرکت شما رو قبول کرد که خیلی خوب میشه اگه که نه خوب یه شرکت دیگه.
بر فرض که شرکت قبولتون کرد,اون موقه شرکت میگه پول از من کار از تو بعد موقع ثبت

اختراع اسم شما با همکاریه شرکت...... ثبت میشه.
این طوری به نظر من بهتر هم هست چون بعدا واسه کار حتما شرکت به شما کار میده ,

بعدشم اگه اختراعتون به جهانی رسید اینو میدونیید یه پشتیبان(شرکت)رو دارید.
اگه هیچ شرکتی شما رو قبول نکرد واسم ایمیل بزنیید تا واستون پیدا کنم یا از یه راه دیگه

کمک مالی به طرحتون کنم.
خوب فکرکنم دیگه مشکلی واسه مخترع شدنتون نباشه.
حالا شاید بگیید که اگه اختراع اینقدر آسونه پس چرا هرکی مخترع نمیشه؟
من میگم چون راه مخترع شدن روکسی به مردم نگفته ومردم فکر میکنند کسایی که اختراع

میکنن آدمای استثنایی و خیلی مخ هستن و اختراع رو واسه خودشون بزرگ میکنن در مقابل

اینکه به نظر من اختراع کردن دیگه یه امرعادی شده .
حتما دیدید که بیشتر دانش آموزانی که اختراع میکنن از مدارس تیز هوشان هستن چون

آموزش و پرورش این راه ها رو به این دانش آموزان یاد میده نه مدارس دیگه و به نظر من

آموزش و پرورش داره بزرگترین اشتباه رو میکنه.
شاید هم متوجه شدید که یه مخترع چند تا اختراع میکنه , چون دیگه راه رو بلده واسه همین

هی اختراع میکنه.
خوب شما راه روتا حدودی یاد گرفتید و تا موقعی که ایده ای پیدا نکنیید راه رو نمیتونید کامل

یاد بگییرید پس همین الان به اطرافتون نگاه کنیید و ببینید با چه چیزی مشکل دارید .این رو

بدونید که ما تو یک روز به بیش از ده ها مشکل بر میخوریم ولی بهش فکر نمیکنیم , حالا

شما هوشیار باشید واین مشکلات رو پیدا و روی اونا فکر کنیید.
اصلا همین جایی که نشستین ببینید چه مشکلی دارید.
اگه ازهمیین الان تصمیم گرفتید مخترع بشید به من میل بزنید تا شما رو بیشتر راهنمایی کنم.
جشنواره ی خوارزمی=
این جشنواره همه سال و فقط سالی 1 باربرگزار میشود ;
برای شرکت در این جشنواره شما بایید 1 اختراع و یا یه کارهنری ویا 1مقاله داشته باشید.
وقتی شما اختراع کردید میتونیید تو این جشنواره شرکت کنیید.انشا الله که مقام کشوری

بیارید.(انشالله)
اگه کسی اطلاعات بیشتری میخواد واسم امیل بزنه(potter_h112@yahoo.com)
درباره ی خودم(نویسنده):
من حسین هاشمی متولد 1369/12/18 و از شهر ساری هستم.
خوشحال میشم اگه مخترع هستید یا روزی مخترع شدید و یا میخواهید بشید به من یه میل

بزنید تا با هم بیشتر آشنا بشیم.
امیدوارم این مقاله براتون مفید واقع شده باشه.

 مجموعه ای از منحنی های جالب : 

بر اساس روابط شیمیایی و فیزیکی موجود بین دانشجو و نمره و بر اساس قوانین نگارش ، ادب و نزاکت فارسی ، سه حالت زیر را میتوان گرفت:

حالت اول:رابطه بین نمره و دانشجو با فعل شدن بیان میشود.مثال : "… فیزیک دو 17 شدم ،خب بچه ها من برم خونه واسه ترم بعد درس بخونم…"

اکثر جمعیت این گروه را دانشجویان واقعی تشکیل میدهند، که با تلاش و کوشش، نمره مطلوب خود را میشوند!

حالت دوم: رابطه بین نمره و دانشجو با فعل دادن بیان میشود.مثال : "…فیزیک دو بهم داده 8 ! استاده فلان فلان…"

اکثر جمعیت این گروه را دانشجویان نا موفق تشکیل میدهند، که بدون تلاش و کوشش، نمره نامطلوب به آنها داده میشود .

حالت سوم: رابطه بین نمره و دانشجو با فعل گرفتن بیان میشود.مثال : "…بلاخره از این فیزیک دو یه 10 گرفتم !دهنم صاف شد…"

اکثر جمعیت این گروه را دانشجویان موفق تشکیل میدهند، که با تلاش و کوشش، نمره نسبتا مطلوب خود را میگیرند.

تبصره:نمره از حقوق دانشجویان است . پس راههای این احقاق به شرح زیر است :

روش اول:گرفتن نمره قبل از امتحان :

مطالعه درس در طول ترم  و (یا) یک هفته قبل از امتحان و (یا) شب امتحان.

این روش آسان ترین و مطمئن ترین روش ممکن است و به همه توصیه میشود.ولی مطابق آمار و اطلاعات موجود تنها نیمی از دانشجویان فقط از این روش استفاده میکنند.دانشجویان واقعی از علاقمندان این روش هستند.پیشرفت علم و جنسیت در این روش تاثیری ندارد!!!

روش دوم:گرفتن نمره هنگام امتحان :

تقلب به روشهای مختلف (استفاده از تکه های کاغذ،نگاه کردن برگه دیگران،صحبت کردن،پنهان کردن جزوه در جای مناسب،نوشتن نکات مهم بر روی اعضای مناسب بدن،تقلبهای پیشرفته و تکنولوژیک مثل استفاده از سیستم  hands freeموبایل یا استفاده از ماشین حساب های پیشرفته و احیانا مجهز به سیستم infra-red  و...)

این روش پرخطرترین روش ممکن است ولی معمولا اگر با تبحر و تجربه کافی انجام شود و منابع معتبر استفاده شود بهترین نتیجه را میدهد.هماهنگی،برنامه ریزی،اعتماد به نفس و پیدا کردن زوج مناسب جزو مهمترین ملزومات این روش میباشد.

دانشجویان موفق و ناموفق از این روش استفاده میکنند.با پیشرفت علم ،این روش هم پیشرفت میکند.جنسیت در این روش موثر است.طبق تجربیات،آمار و احتمالات موجود،دختران در این روش چندان موفق نیستند و به علت ترس بیش از حد و عدم اعتماد به نفس کافی ، با مشکل مواجه میشوند(البته استثنا هم دارد)

روش سوم: گرفتن نمره بعد از امتحان :

صحبت و مشورت های خصوصی با اساتید مربوطه،استفاده از انواع دستمال و مواد روان کننده،ظاهر گول زننده،دروغ های عجیب و غریب اما باور کردنی،استعدادهای ذاتی،روابط و آشنایان موجود و ...

این روش از  متداول ترین روشهای موجود است و تقریبا تمام گروههای دانشجویان از این روش استفاده می کنند.این روش قانون خاصی ندارد و هرکس به شیوه خود این قانون را اجرا میکند و به تعداد دانشجویان ، شگردهای مختلف وجود دارد.امتحان کردن این روش حتی برای یکبار به همه توصیه میشود.پیشرفت علم در این روش میتواند موثر باشد.جنسیت در این روش به شدت موثر است.دختران معمولا به علت داشتن نعمت های خدادادی(همچون گریه و...) در این روش موفق ترند.جواب گرفتن از این روش به یک عامل مهم ،یعنی حال استاد مربوطه بستگی دارد،که به شدت متغیر است.این روش محل پیدایش انواع و اقسام معجزات،داستان های عجیب و ماجراهای عبرت آموز است.

شعر:نابرده زجر،نمره میسر نمیشود        20 آن گرفت جان برادر که شاهکار کرد!    

• اقليدس رياضيدان يوناني،پسر نوقطرس بن برنيقس،رياضيدان و منجم بزرگ تاريخ علم،به سال 323 ق.م متولد شد،وي از تبار فنيقی و نخستين رئيس بخش رياضيات بود، در زبان يونانی اقلی به معنی کليد و دس به معنای هندسه و اقليدس به معنای کليد هندسه است،در آن زمان مرگ اسكندر فرا رسيد و سردارانش براي كسب قدرت با يكديگر جنگيدند. بطلميوس يكي از سرداران اسكندر بود كه مصر را گرفت و در آن جا تشكيل حكومت داد. وي از علم و دانش حمايت مي كرد و دانشمندان و دوستداران علم و دانش را دعوت مي كرد تا در اسكندريه اقامت كنند.
  اقليدس بيش از 30 سال نداشت كه به خواهش و درخواست بطلميوس براي تدريس به اسكندريه رفت و در اين شهر مكتب فلسفي خود را پايه گذاري كرد. اقليدس مردي محبوب، آرام، فروتن و نيكوكار بود و در حضور مستبدان و سرداران زورگو در نهايت صراحت صحبت مي كرد. بطلميوس فرمانرواي مصر هنگامي كه خواست هندسه را بياموزد آن را دشوار ديد و ترجيح داد كه از راه ساده تري به فهم آن موفق شود، بنابر اين از اقليدس پرسيد: آيا امكان دارد قضايا را به نحو ساده تري بيان كرد؟ اقليدس به وي جواب داد: غير ممكن است، در هندسه راه مخصوص شاهانه وجود ندارد!
  وي به ماديات اهميت چنداني نمي داد.زماني كه شاگردي از وي پرسيد كه از هندسه چه نفعي مي بريم؟در پاسخ به وي رو به غلامي كرد و گفت كه به شاگردش يك اوبولوس بدهد زيرا كه وي مي خواهد از آنچه كه مي خواند بهره ببرد.وي بسيار متواضع و مهربان بود.
  در حدود 300 ق.م ،اقليدس مدرسه اي را در اسكندريه بنا مي كند كه به مركز مطالعات علمي يونان مبدل مي گردد.
   كتاب مقدمات اقليدس يا كتاب هندسه كه سه قرن قبل از ميلاد به نگارش در آمده، به زبان هاي مختلف دنيا ترجمه شده است و از آن زمان كه فن چاپ مرسوم شد تا به حال بيش از2000 بار چاپ گرديده است.زمانيكه اين كتاب منتشر شد، چنان نويسنده اش را مشهور كرد كه تا20 قرن بعد هرگونه تغيير در آن به معني توهين به مقدسات عالم محسوب مي شد. تامدتها مردم بر اين تصور بودند كه اصل موضوع هاي اقليدس هيچ گاه قابل تغيير نيست و تغيير در آن صورت نمي گيرد، اما دانشمندان برجسته اي چون ريمان لباچفسكي، علم رياضيات را توسعه دادند و هندسه هايي غيراقليدسي ارائه كردند.اقليدس نابغه برجسته اي بود كه ذوق سرشاري در زمينه تدوين داشت و اين مطلب را مي توان با مطالعه كتاب (نور) به خوبي متوجه شد.
  قرن‌ پنجم‌ شاهد اوج‌ قدرت‌ ادبي‌ يونان‌، قرن‌ چهارم شاهد شكوفايي‌ فلسفه‌ و قرن‌ سوم‌ شاهد تكامل‌ علوم‌ بود. سلاطين‌ بيش‌ از دموكراسيها نسبت‌ به‌ تحقيقات‌ علمي‌ گذشت‌ و مساعدت‌ روا مي‌داشتند. اسكندر كاروانهايي‌ مركب‌ از جدولهاي‌ نجومي‌ بابلي‌ به‌ شهرهاي‌ يوناني‌ سواحل‌ آسيا فرستاد كه‌ به‌ زودي‌ به‌ زبان‌ يوناني‌ ترجمه‌ شدند. بطالسه‌ موزه‌ي‌ مطالعات عالي‌ را بر پا داشتند و علوم‌ و ادبيات‌ فرهنگهاي‌ مديترانه‌اي‌ را در كتابخانه‌ي‌ كتابخانه‌ي بزرگ‌ خود متمركز كردند. بطالسه‌ موزه‌ي‌ مطالعات عالي‌ را بر پا داشتند. آپولونيوس‌ مقاطع‌ مخروطي‌ خود را به‌ آتالوس‌ اول‌ هديه كرد،‌و ارشميدس‌ تحت‌ حمايت‌ هيرون‌ دوم‌ به‌ تعيين‌ نسبت‌ محيط‌ دايره‌ به‌ قطر آن‌ و محاسبه‌ي‌ تعداد ماسه‌هايي‌ كه‌ براي‌ پر كردن‌ جهان‌ لازم‌ است‌ پرداخت.
  با وجود تمامي اينها،موفقترين علم نزد آن زمان هندسه بود.اقليدس متعلق به اين دوره مي باشد.حدود 2000 سال است كه  اقليدس با علم هندسه ياد مي كنيم.ارشميدس از دانشمندان باستان نيز دوراني را در نزد شاگردان اقليدس به تحصيل علم پرداخت و به رياضيات اشتياق فراواني يافت.
• آثار اقليدس:
  اقليدس مجموعه ای از 13 کتاب را به نام اصول تاليف می کند(كتابهاي‌ اول‌ و دوم‌ خلاصه‌اي‌ از كارهاي‌ فيثاغورس‌ در هندسه‌ به‌ دست‌ مي‌دهند، كتاب‌ سوم‌ كارهاي‌ بقراط‌ خيوسي،كتاب‌ پنجم‌ كارهاي‌ ائودوكسوس، كتابهاي‌ چهارم، ششم‌ و يازدهم‌ و دوازدهم‌ كارهاي‌ فبثاغورسيان‌ متأخر و دانشمندان‌ هندسه‌ي يوناني،‌ كتابهاي‌ هفتم‌ تا دهم‌ از رياضيات‌ عالي‌ بحث‌ مي‌كنند.)،اين کتابها همچنين زير بنای رياضيات جديد را پی می نهند.
   كه مهمترين کتاب او می باشد و به عربی ترجمه شده و در سراسر اروپا و خاور ميانه گسترش يافت . کتاب اصول وی در زمينه هندسی يونانی ، جبر و نظريه اعداد نوشته شده است . که شامل 13 مقاله و 465 قضيه می باشد و در زمينه دايره ، خط راست ، هندسه فضايی  صفحه و کره ، اشکال منتظم ، اعداد گنگ ، استفاده از خط کش و پرگار در ترسيمات و ..... می باشد که البته اقليدس مطالب و نظريه های جديد عنوان نکرده بلکه همان نظريه های دانشمندان پيشين خود را به صورت قضايا و برهانهای منطقی عنوان نموده است. در اين كتابها بدون هيچ مقدمه ي خاصي به تعريف ساده ي قضيه،سپس به فرضيه هاي لازم،و بالاخره به‌ بديهيات‌ يا علوم‌ متعارف‌ مي‌پرازد.
  به‌ پيروي‌ از دستورات‌ افلاطون‌، خود را مقيد به‌ ارقام‌ و شواهدي‌ مي‌نمود كه‌ جز خط‌كش‌ و پرگار ابزاري‌ نخواهد. اصول مجموعه كتابي است كه تنها كتابي‌ كه‌ از لحاظ‌ دوام‌ تاريخي‌ با آن‌ برابر است‌ «انجيل‌» است‌.
  بسياری از رياضيدانان برجسته نخستين گرايش خود را به رياضيات مديون کتاب اصول اقليدس هستند يکي از روشهايی که اقليدس در اين کتاب به کار برده است برهان خلف می باشد برای مثال اگر الف دروغ باشد پس ب راست است . ب دروغ است پس الف راست است .
• اثر مفقود اقليدس‌، ((مقاطع‌ مخروطي‌))، خلاصه‌ي‌ مطالعات‌ منايخموس‌، آريستايوس‌ و ديگران‌ در رشته‌ي‌ مخروطات‌ است‌.
•  هندسه ي اقليدسي:
• اقليدس واضع علم هندسه به شمار می رود. قبل از وی يونانيان و مصريان و بابليان و اقوام ديگر- از راه تجربه – اطلاعاتی در باب اشکال هندسی و حقايق مربوط به آنها داشتند. ولی اين اطلاعات هندسی به صورت مجموعه ای از احکام متفرق بود که هر يک مستقلاً و جدا از سايرين، مورد نظر قرار می گرفت. بديهی است که اين گونه اطلاعات پراکنده و متفرق را نمی توان علم ناميد. اقليدس، با کشف روابط منطقی اين احکام و استنتاج بعضی از آنها را از بعضی ديگر اطلاعات پراکنده و جداگانه ی مذکور را تنطيم و تکميل کرد. از همين جا است که او را پدر و واضع علم هندسه می دانند. «اقليدس علم هندسه را بر روش قياسی بنا نهاد. هندسه ی اقليدسی با چند تعريف و اصل موضوع شروع می شود و سپس استخراج قضايا می آيد. تعاريفی که اقليدس می آورد از اين قبيل است:
  نقطه آن است که جزء ندارد.
  «خط طول بلاعرض است.»
  «ولی اقليدس تمام حدود وارد در علم هندسه را تعريف می کند. مثلاً کلماتی را که در دو تعريف مذکور به کار رفته، از قبيل جزء و طول و عرض تعريف نکرده است. اينها از حدود اوليه ی دستگاه اقليدس است. در تعريفات بعدی از حدودی که قبلاً تعریف شده کمک گرفته می شود. مثلاً وی خط مستقيم را چنين تعريف می کند:
  «خط مستقيم خطی است که بين دو انتهای خود هموار باشد.». «اقليدس در تأسيس علم هندسه احکامی چند را بدون دليل می پذيرد. وی اين احکام را به دو دسته تقسيم می کند که عبارتند از اصل موضوع ها و علوم متعارفی، ولی دليلی برای اين تقسيم اقامه نمی نمايد. شايد وی بعضی از احکام مذکور را کلی تر يا واضح تر از بعضی ديگر می پنداشته است. در هر حال هندسه ی اقليدسی نه فقط مدعی بوده که تمام قضايای آن نتيجه ی منطقی اصل موضوع ها و علوم متعارفی است و مانند آنها راست است، بلکه مدعی بداهت اصل موضوع ها و علوم متعارفی نيز بوده است. اين تقسيم بندی در علوم قياسی امروز منسوخ است. تئوری های قياسی مدعی آن نيستند که اصل موضوع های آنها في لبداهه راست است، بلکه هر حکمی از يک تئوری قياسی که بدون اثبات در آن تئوری پذيرفته شود، اصلی موضوعی از آن تئوری محسوب می شود.
  بر اساس هندسه اقليدس كه آن را هندسه مسطحه ودو بعدى مى‏خوانند جهان، نامحدود و بى‏مرز است، اين ديدگاه از اصل پنجم برخاسته است كه بر اساس آن: دو خط موازى ومستقيم اگر تا بى‏نهايت هم امتداد يابند هيچ‏گاه همديگر را قطع نمى‏كنند و فاصله‏شان همواره ثابت است. اصل پنجم اقليدس اين است: «اگر خطى بر دو خط راست فرو افتد با آنها دو زاويه بسازد، چنان كه مجموعشان از دو قائمه كمتر باشد، وقتى كه آن دو خط به طور نامتناهى امتداد داده شوند، در طرفى كه زاويه‏هاى كوچكتر از دو قائمه قرار دارند به يكديگر مى‏رسند».
  بسيارى از دانشمندان كوشيدند اصل پنجم اقليدس را چون چهار اصل ديگر اثبات كنند و موفق نشدند، از جمله مردانى كه در اثبات اين اصل تلاش كردند:
  ابوالحسن ثابت‏بن قره حرانى (221 تا 288ه.ق) پزشك، رياضى‏دان، اختر شناس و مترجم نامدار بود، وى با روشى كه پس از او ابوعلى حسن، مكنى به ابن هيثم،معروف به بصرى (354تا 420ه.ق) پزشك، فيزيكدان، رياضى‏دان و بزرگترين محقق در شاخه‏ى نورشناسى فيزيك به كار گرفت و همچنين:حكيم ابوالفتح عمر خيام نيشابورى (439 تا 526ه.ق) حكيم، فيلسوف، شاعر، اخترشناس و رياضى‏دان(همه در اصل پنجم اقليدس ترديد داشتند)، هر كدام خواستند به نحوى آن را اثبات كنند ولى توفيق به دست نياوردند.
  خواجه نصيرالدين حكيم والا مقام خطه‏ى طوس(597 تا 672ه.ق) منجم، رياضى‏دان، سياستمدار و نويسنده زبردست نيز در اثبات اصل پنجم به نتيجه‏اى نرسيد، وى شرحى به عربى بر اقليدس و رساله‏اى درباره‏ى اصل‏هاى اقليدسى نوشت و در بررسى اصل پنجم و براى اثبات آن به اهميت قضيه‏ى «مجموع زاويه‏هاى مثلث‏برابر دو قائمه است‏» توجه كرده و خواست از اين روى كرد نتيجه بگيرد.
  جان واليس(1616 تا 1703م) به كار خواجه نصيرالدين و شيوه‏ى استدلال او دلبستگى پيدا كرده و در سال 1651م استدلال او را در كلاس درس دانشگاه اكسفورد به كار برد.
  ولي آنگونه كه گويند: خود اقليدس از اين اصل و دست آوردهاى آن ناخشنود بود وچشم به پيدايش هندسه نا اقليدسى دوخت.
  کار ديگر و جالبي كه توسط خيام انجام شد، نقد و بحثی بود که وی درباره مسائل هندسی که اقليدس مطرح و اصول هندسی که اقليدس آنها را تدوين کرده بود، انجام داد. وی به بحث در خصوص تاريخچه بحثهای هندسی در يونان پرداخت و نظرات جديدی در خوصوص برخی اصول، نظير اصل مهم هندسه اقليدسی يعنی اصل توازی مطرح کرد. خيام در اين دوره بحثی را آغاز کرد که بعدها باعث گسترش مفهوم عدد شد. در اين دوره اعدادی که شناخته شده بودند تنها بخشی از عددهای حقيقی را در بر می گرفتند و هنوز اعداد اصم شناخته شده نبودند. خيام با بحثی که بر سر تعريف نسبت – که در کتاب اصول اقليدس آمده است بيان می کند تعريف اسلامی نسبت عروف شده جايگزین ميکند و سپس با توجه به تعريف جديد مفهومی از نسبت قطر يک مربع به ضلع آن را ارائه می کند. امروزه اين عدد را می شناسيم و به عنوان عددی اصم از آن ياد می کنيم؛ اما در زمان خيام اين موجودات وجود نداشتند و خيام بر اين عقيده بود که بايد برای آنها رده جديدی از اعداد در نظر گرفته شود. تا تعريف نسبت بتواند به طور فراگير و کامل ادراک شود. اين بحثی بود که سرانجام شکافهای موجود در محور اعداد حقيقی را کاهش داد و باعث شد بحث اعداد حقيقی مطرح شود.
• هندسه ي نا اقليدسي:
  نيکلای ايوانويچ لباچفسکی،از جمله اولين کسانی بود که قواعد هندسه اقليدسی را که بيش از 2000 سال بر علوم مختلف رياضی و فيزيک حاکم بود درهم شکست. کسی باورش نمی شد هنگامی که اروپا مرکز علم بود شخصی در گوشه ای از روسيه بتواند پايه های هندسه اقليدسی را به لرزه در بياورد و پايه های علم در قرن نوزدهم را پی ريزی کند.
• در ميان اصول هندسه اصلي وجود دارد كه به اين صورت بيان مي شود: از هر نقطه خارج يک خط نمی توان بيش از يک خط موازی- در همان صفحه ای که خط و نقطه در آن قرار دارند- به موازات آن خط رسم کرد.
   
  در طول سالها اين اصل اقليدس مشکل بزرگی برای رياضی دانان بود.چرا که ظاهری شبيه به قضيه داشت تا اصل. آنرا با اين اصل اقليدس که می گويد بين هر دو نقطه می توان يک خط راست کشيد و يا اينکه همه زوايای قائمه با هم برابر هستند مقايسه کنيد.
  حقيقت آن است که بسياری از رياضی دانان سعی کردند که اين اصل اقليدس را اثبات کنند اما متاسفانه هرگز اين امر ممکن نشد. حتی خيام در برخی مقالات خود سعی در اثبات اين اصل کرد اما او نيز همانند سايرين به نتيجه نرسيد.
  لباچفسکی (1792 - 1856) نيز همانند بسياری از دانشمندان علوم رياضی سعي در اثبات اين اصل کرد و هنگامی که به نتيجه مطلوب نرسيد نزد خود به اين فکر فرو رفت که اين چه هندسه ای است که بر پايه چنين اصل بی اعتباری استوار شده است. اما لباچفسکی در کوشش بعدی خود سعی کرد تا رابطه ميان هندسه و دنيای واقعی را پيدا کند.
  او معتقد بود اگر نتوانيم از ساير اصول هندسه اقليدسی اين اصل را ثابت کنيم باید به فکر مجموعه اصول ديگری برای هندسه باشيم. اصولی که در دنيای واقعی حضور دارند. او پس از بررسی های بسيار چنين بيان کرد:
  “از هر نقطه خارج يک خط می توان لااقل دو خط در همان صفحه به موازات خط رسم کرد ”
  هر چند پس از اين فرض بنظر می رسيد که وی در ادامه به تناقض های بسياری خواهد رسيد اما او توانست بر اساس همين فرض و مفروضات قبلی اقليدس به مجموعه جديد از اصول هندسی برسد که حاوی هيچگونه تناقضی نباشد. او پايه های هندسه ای را بنا نهاد که بعدها کمک بسيار زيادی به فيزيک و مکانيک غير نيوتنی نمود.
  هندسه هذلولوى نا اقليدسى :
• بوليايى (1775تا 1856م) و لباچفسكى(1793 تا 1856م) در اوايل سده نوزدهم هندسه‏ى نااقليدسى را كشف كردند، اما كشف آن به وسيله‏ى يك كشيش ««زوئيت‏» ايتاليايى تقريبا صد سال پيش تر صورت پذيرفته بود، همچنين اندكى بعد در آلمان:يوهان هاينريخ لامبرت(1718 تا 1777م) نيز به كشف هندسه‏ى نا اقليدسى بسيار نزديك شد، به بيان ديگر ،هندسه نا اقليدسى را نه يك تن بلكه تنى چند در نقاط مختلف جهان بى‏ارتباط به يكديگر كشف كردند، مثلا گاوس(1777تا 1855م) در آلمان، بوليايى درمجارستان(هنگرى) لباچفسكى در روسيه به اين كشف دست‏ يافتند، گاوس همان راه ساكرى و لامبرت كه با آثارشان آشنايى داشت را مى‏پيمود، و لباچفسكى نبوغ گاوس را صحه گذاشت و گفت: هيچ برهان قطعى درباره‏ى اصل پنجم وجود ندارد. وى در نظريه‏ى جديد خاطرنشان ساخت كه از هر نقطه بيش از يك خطا به موازات خط مفروضى مى‏توان رسم كرد، و مجموع زاويه‏هاى مثلث كمتر از دو قائمه است. كاربرد اين هندسه در سطوح منحنى چون سطح يك زين اسب است، و مى‏توان در آن عده‏ى فراوانى خطوط ژئودزى( خطوط مستقيم در سطح مستوى هندسه اقليدسى) رسم كرد كه هيچ يك از آنها هر چه به هر سو هم كشيده شوند يك خط ژئودزى معين را قطع نمى‏كنند.
  بر اين اساس، در سطح يك زين مجموع سه زاويه مثلثى كه تشكيل مى‏شود همواره كوچكتر از دو زاويه قائمه است، و اختلاف بستگى به اندازه مثلث دارد. سطوحى كه داراى خواص يك سطح زينى (هندسه هذلولوى) هستند انحناء و سطوح منفى نام دارند.
  هندسه نا اقليدسى بيضوى :
  برنهارديمان (1826 تا 1866م) شاگرد گاوس در يك سخنرانى گفت: فضا لازم نيست نامتناهى باشد هر چند بى مرز تصور شود، يعنى مى‏توان گفت: دو خط با هم موازى نيستند و مجموع زاويه‏هاى يك مثلث‏بزرگتر از دو قائمه است و فضا از سه جهت (طول، عرض، ژرفا) بسط يافته است، و اين حالت مخالف با سطح زين را با هندسه بر سطح يك كره نشان مى‏دهند، در اين حالت كروى خطوط ژئودزى همان قوسهاى دايره عظيمه هستند و هر دو دايره عظيمه غير مشخص همواره يكديگر را در دو نقطه قطع مى‏كنند و خطوط موازى به هيچ وجه وجود ندارند.
  در اين هندسه مجموعه‏ى سه زاويه‏ى مثلث همواره بزرگتر از دو قائمه است .سطوح اين هندسه با انحناى مثبت‏شناخته شده‏اند.
  روش و طرز كار رياضى براى توصيف فضاهاى سه بعدى منحنى و نيز فضاهاى منحنى با ابعاد بيشتر توسط ريمان تكميل شد و براى استفاده اينشتاين وقتى كه فكر ملا اتصالى ( زمان و بعد چهارم) را تصور كرد آماده بود.
• كيهان شناسى اينشتين :
  آلبرات اينشتين (1879تا 1955م) كيهان شناسى خود را بر پايه هندسه غير اقليدسى بنا نهاد كه در آن حجم جهان، محدود تلقى مى‏شود، در هندسه او (بيضوى) سه زاويه مثلث‏بيش از 180 درجه است، و چنان چه خط مستقيمى تا بى‏نهايت ادامه يابد نهايتا به نقطه آغاز برمى‏گردد، يعنى خط مستقيم با انحناء مشخص انحناء مى‏يابد، و اين شعاع نشانگر اندازه‏ى جهان است، اين نوع جهان فاقد كرانه و فضاى خالى خواهد بود، و كهكشانها و ستارگان با توزيع همگن، كل آن را خواهند پوشاند و تعداد محدودى ستاره و كهكشان در حجم محدود آن وجود خواهند داشت.
  طرفداران اين نظريه معتقدند با اين روش (هندسه بيضوى) امكان دارد به تبيين جهان پرداخت، در اين مدل، جهان ايستا و بدون انبساط است، اينشتين به اين نكته پى برد كه جهان نه همانند مدل «نيوتون‏» نامحدود است و نه مى‏توان محدود و احاطه شده به يك جهان تهى باشد، بلكه فضا با انحناى مثبت‏بيانگر محدوديت جهان است.
  در معادلات اينشتين شعاع جهان حدود 20 ميليارد ( 1010×2) پارسك به دست مى‏آيد، يعنى تقريبا برابر 20/65 ميليارد سال نورى.
  ليكن اين نظريه با كشف نسبيت ، با اشكال‏هاى پيچيده و بغرنجى از جانب خود اينشتين روبه رو گشت .
  مدل هندسه اقليدسى از سوى اصل پنجم، دو بعدى بودن و... مخدوش شمرده شده وكوشش‏هاى دانشمندان از خود اقليدس گرفته تا سايران در استدلالى كردن آن به نتيجه‏اى نرسيده است.
• هندسه نااقليدسى و نسبيت عام اينشتين:
  در قرن نوزدهم دو رياضيدان بزرگ به نام «لباچفسكى» و «ريمان» دو نظام هندسى را صورت بندى كردند. كه هندسه را از سيطره اقليدس خارج مى كرد. صورت بندى «اقليدس» از هندسه تا قرن نوزدهم بسيار پررونق بود و پنداشته مى شد كه نظام اقليدس يگانه نظامى است كه امكان پذير است. اين نظام بى چون و چرا توصيفى درست از جهان انگاشته مى شد. هندسه اقليدسى مدلى براى ساختار نظريه هاى علمى بود و نيوتن و ديگر دانشمندان از آن پيروى مى كردند.
   هندسه اقليدسى فضايى را مفروض مى گيرد كه هيچ گونه خميدگى و انحنا ندارد. اما نظام هندسى لباچفسكى و ريمانى اين خميدگى را مفروض مى گيرند. (مانند سطح يك كره) همچنين در هندسه هاى نااقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه نيست. (در هندسه اقليدسى جمع زواياى مثلث برابر با ۱۸۰ درجه است.) ظهور اين هندسه هاى عجيب و غريب براى رياضيدانان جالب توجه بود اما اهميت آنها وقتى روشن شد كه نسبيت عام اينشتين توسط بيشتر فيزيكدانان به عنوان جايگزينى براى نظريه نيوتن از مكان، زمان و گرانش پذيرفته شد. چون صورت بندى نسبيت عام اينشتين مبتنى بر هندسه((ريماني)) است. در اين نظريه هندسه زمان و مكان به جاى آن كه صاف باشد منحنى است. نظريه نسبيت خاص اينشتين تمايز آشكارى ميان رياضيات محض و رياضيات كاربردى است. هندسه محض مطالعه سيستم هاى رياضى مختلف است كه به وسيله نظام هاى اصول موضوعه متفاوتى توصيف شده اند. اما هندسه محض انتزاعى است و هيچ ربطى با جهان مادى ندارد يعنى فقط به روابط مفاهيم رياضى با همديگر، بدون ارجاع به تجربه مى پردازد. هندسه كاربردى، كاربرد رياضيات در واقعيت است. هندسه كاربردى به وسيله تجربه فراگرفته مى شود و مفاهيم انتزاعى برحسب عناصرى تفسير مى شوند كه بازتاب جهان تجربه اند. نظريه نسبيت، تفسيرى منسجم از مفهوم حركت، زمان و مكان به ما مى دهد. اينشتين براى تبيين حركت نور از هندسه نااقليدسى استفاده كرد. بدين منظور هندسه((ريماني)) را برگزيد.
  هندسه اقليدسى براى دستگاهى مشتمل بر خط هاى راست در يك صفحه طرح ريزى شده است اما در عالم واقع يك چنين خط هاى راستى وجود ندارد. اينشتين معتقد بود امور واقع هندسه ريمانى را اقتضا كرده اند. نور بر اثر ميدان هاى گرانشى خميده شده و به صورت منحنى در مى آيد يعنى سير نورمستقيم نيست بلكه به صورت منحنى ها و دايره هاى عظيمى است كه سطح كرات آنها را پديد آورده اند. نور به سبب ميدان هاى گرانشى كه بر اثر اجرام آسمانى پديد مى آيدخط سيرى منحنى دارد. براساس نسبيت عام نور در راستاى كوتاه ترين خطوط بين نقاط حركت مى كند اما گاهى اين خطوط منحنى هستند چون حضور ماده موجب انحنادر مكان - زمان مى شود.
  در نظريه نسبيت عام گرانش يك نيرو نيست بلكه نامى است كه ما به اثر انحناى زمان ـ مكان بر حركت اشيا مي دهيم. آزمون هاى عملى ثابت كردند كه شالوده عالم نااقليدسى است و شايد نظريه نسبيت عام بهترين راهنمايى باشد كه ما با آن مى توانيم اشيا را مشاهده كنيم. اما مدافعين هندسه اقليدسى معتقد بودند كه به وسيله آزمايش نمى توان تصميم گرفت كه ساختار هندسى جهان اقليدسى است يا نااقليدسى. چون مى توان نيروهايى به سيستم مبتنى بر هندسه اقليدسى اضافه كرد به طورى كه شبيه اثرات ساختار نااقليدسى باشد. نيروهايى كه اندازه گيرى هاى ما از طول و زمان را چنان تغيير دهندكه پديده هايى سازگار با زمان ـ مكان خميده به وجود آيد. اين نظريه به((قراردادگرايى)) مشهور است كه نخستين بار از طرف رياضيدان و فيزيكدان فرانسوى((هنرى پوانكاره)) ابراز شد. اما نظريه هايى كه بدين طريق به دست مى آوريم ممكن است كاملاً جعلى و موقتى باشند. اما آيا دلايل كافى براى رد آنها وجود دارد؟